Преглед на кода на Сборник с математически доказателства/Чернова9

[[Сборник с математически доказателства/Чернова]]<<

[[wikipedia:en:Hilbert's problems]]

[[wikipedia:de:Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen]]

{{превод}}

По време на втория математически конгрес, проведен в [[Париж]] през [[1900]], [[Давид Хилберт]] представя '''23 нерешени от математиците проблема'''. Според него, те ще обозначат целите на математиците през [[ХХ век]].

Нека вземем за пример Първият Хилбертов проблем. Първият Хилбертов проблем се отнася до хипотезата за континуума на Кантор. През 1940, [[Курт Гьодел]] доказва, че хипотезата не може да бъде опровергана, в рамките на Теорията на множествата на Земело-Франкел, дори ако приемем [[Аксиома за избор|аксиомата за избора]]. През 1963, Пол Коен доказва, че хипотезата не може и да бъде доказана, на базата на същата аксиоматика. И двамата предполагат, че аксиоматиката на Земело-Франкел е вътрешно непротиворечива.

По-нататък следва таблица изброяваща проблемите, както и тяхното състояние - решеност, нерешеност, полу- или частична решеност за момента.


==Таблица на 23-те проблема==

23-те проблема на Хилберт са:

{| class="wikitable"
! Проблем
! Кратко обяснение
! Състояние 
|- 
| [[Първи проблем на Хилберт|1ви]]         
| [[Хипотеза за континиума|Хипотезата за континуума]] (тоест няма [[множество]] по мощно от множеството на [[Цяло число|целите]] числа и по-малко мощно от множеството на [[реални числа|реалните числа]])
| style="background:#FFEE99;" | Гьодел доказва (1939), че ако аксиоматичната система на Цермело-Френкел е непротиворечива, то тя не може да опровергае хипотезата за континуума. Коен доказва (1969), че при същите предположения, хипотезата не може да бъде доказана, тоест, че в най-широко използваната теория на множествата проблемът е неразрешим. През последните две десителетия се води дискусия за това дали хипотезата може да бъде доказана или опровергана в рамките на друга теория на множествата. Водещият специалист в тази област Уилиам Удин работи върху фомулирането на по-съвършена аксиоматична система от тази на Цермело-Френкел, която ще може да опровергае хипотезата за континуума. Неговият колега Джон Стийлс смята, че начинанието е безсмислено и обречено на неуспех.<ref>виж. Schindlеr R., [http://wwwmath1.uni-muenster.de/logik/Personen/rds/Grosse_Kardinalzahlen.ps ''Wozu brauchen wir grosse Kardinalzahlen?'' (ps)], Mathematische Semesterberichte, 53, 2006 и Schindler R., [http://wwwmath1.uni-muenster.de/logik/Personen/rds/Antrittsvorlesung.ps ''Wozu brauchen wir grosse Kardinalzahlen?''], встъпителна лекция, 2004</ref><ref>Cohen P., ''Set Theory and the Continuum Hypothesis.'' W. A. Benjamin Inc., New York 1966, ISBN 978-0805323276</ref> 
|- 
| [[Втори проблем на Хилберт|2ри]]        
| Да се докаже непротоворечивостта на [[Пеанова аритметика|Пеановата аритметика]].
| style="background:#FFFF99;" | Проблемът е неразрешим така, както е поставен от Хилберт, тоест в рамките на Хилбертовата програма, която допуска използването на трасфинитна индукция само до <math>\omega</math> (първото безкрайно ординално число). Неразрешимостта е следствие от [[Теорема за непълнотата|теоремата на Гьодел за непълнотата]]. Генцен успява обаче да покаже (1936) непротиворечивостта на Пеановата аритметика в по-малко строга метаматическа програма с височина на индукционните изводи до <math>\epsilon_0</math> (най-малкото ординално число непредставимо като аритметичен израз от по-малки ординални числа). Доказано е, че този резултат не може да бъде подобрен.<ref>Барвайс Дж. (ред.), ''Справочная книга по математической логике. Теория доказательств и конструктивная математика'', Москва, «Наука», 1983</ref><ref>Schütte K., ''Proof Theory'', Springer, 1977, ISBN 0-387-07911-4</ref><ref>Menzler-Trott E., ''Gentzens Problem'', Birkhäuser, 2001, ISBN 3-7643-6574-9</ref><ref>Deutsch M., ''Einführung in die Grundlagen der Mathematik'', Universitätsdruckerei Bremen, 1999, ISBN 3-88722-438-8</ref> Тъй като изпозването на ординални числа по-малки от  <math>\epsilon_0</math> е незначително отклонение от Хилбертовата програма, не криещо рискове, доказателството на Генцен се счита за решение на проблема.<ref>Макар, че чрез трансфинитна индукция до <math>\epsilon_0</math> може да се докаже непротиворечивостта на аритметиката до <math>\omega</math>, за непротиворечивостта на използваните методи остава винаги някакво съмнение. Всеобщо приетото схващане е, че тези съмнения са пренебрежими и че евентуални парадокси в изложението на Генцен не могат и никога няма да бъдат намерени. Тази вяра се гради най-вече върху очевидната интуитивна близост между Генценовата и Хилбертовата програма.</ref>
|- 
| [[Трети проблем на Хилберт|3ти]]         
|  Може ли да се докаже, че два тетраедъра имат един и същ обем? (при определени допускания)
| style="background:#EEFFCC;" | Решен. Резултат: не, виж [[Инварианта на Ден]]
|- 
| [[Четвърти проблем на Хилберт|4ти]]        
| Да се построят всички [[метрично пространство|метрики]], където правите линии са геодезични криви.
| style="background:#FFEE99;" | Неясно формулиран<ref>Според Rowe & Gray по-голямата част от проблемите са решени. Някои не са пълно/достатъчно добре дефинирани, но по тях има достатъчен напредък, за да могат да бъдат считани за „решени“.</ref> Според Rowe & Gray четвъртия проблем не е твърде добре дефиниран, за да бъде определено дали е решен или не.
|- 
| [[Пети проблем на Хилберт|5ти]]         
| Дали всички непрекъснати [[група (математика)|групи]] автоматично [[Групи на Ли]]?
| style="background:#EEFFCC;" | Решен (1950, отговор положителен).
|- 
| [[Шести проблем на Хилберт|6ти]]         
| Пълна [[аксиоматизация]] на [[физика]]та.
| style="background:#FFEE99;" | Нерешен. Нематематически
|- 
| [[Седми проблем на Хилберт|7ми]]       
| Дали ''a''<sup>''&nbsp;b''</sup> е [[Трансцендентни числа|трансцедентно]], за всяко [[алгебрично число]] ''a'' &ne; 0,1 и [[ирационални числа|ирационално]] алгебрично ''b'' ?  
| style="background:#EEFFCC;" | Решен. Резултат: да, виж например [[Теорема на Гелфонд|Теоремата на Гелфонд]] или  [[Теорема на Гелфонд-Шнайдер|Теоремата на Гелфонд-Шнайдер]]
|- 
| [[Осми проблем на Хилберт|8ми]]        
| [[Римановата хипотеза]] („Реалната част на всяка кратна нула на Римановата дзета-функция е равна на ½“.) и [[Хипотеза на Голдбах|Хипотезата на Голдбах]] (всяко [[четност|четно]], по-голямо от 2, може да бъде записано като сбор от [[просто число|прости числа]]).  
| style="background:#FFCCCC;" | Открит<ref>Осмият проблем се състои от два известни проблема, които все още не са решени.Първиято от двата, [[Римановата хипотеза]] е един от седемте [[Проблеми на хилядолетието на института Клей|Проблема на хилядолетието]], които се оказват "Хилбертовите проблеми" на [[ХХI. век]].</ref>
|- 
| [[Девети проблем на Хилберт|9ти]]         
| Find most general law of the [[reciprocity theorem]] in any [[algebra]]ic [[number field]]
| style="background:#FFFF99;" | Частично решен<ref>Problem 9 has been solved in the [[abelian]] case, by the development of [[class field theory]]; the non-abelian case remains unsolved, if one interprets that as meaning [[non-abelian class field theory]].</ref>
|- 
| [[Десети проблем на Хилберт|10ти]]        
| Determination of the [[mathematical solution|solvability]] of a [[Diophantine equation]]
| style="background:#EEFFCC;" | Решен. Резултат: не, [[Matiyasevich's theorem]] implies that this is impossible
|- 
| [[Единадесети проблем на Хилберт|11ти]]     
| Solving [[quadratic form]]s with algebraic numerical [[coefficient]]s.
| style="background:#FFFF99;" | Частично решен
|- 
| [[Дванадесети проблем на Хилберт|12ти]]      
| Extend [[Kronecker's theorem]] on [[abelian extension]]s of the [[rational number]]s to any base [[number field]].
| style="background:#FFCCCC;" | Открит
|- 
| [[Тринедесети проблем на Хилберт|13ти]]   
| Solve all [[polynomial|7-th degree equations]] using [[mathematical function|functions]] of two [[parameters]].
| style="background:#EEFFCC;" | Решен
|- 
| [[Четиринадесети проблем на Хилберт|14ти]]   
| Proof of the [[крайно множество|крайност]] of certain complete systems of functions.
| style="background:#EEFFCC;" | Решен. Резултат: не, generally, due to counterexample
|- 
| [[Петнадесети проблем на Хилберт|15ти]]    
| Rigorous foundation of [[Schubert's enumerative calculus]].
| style="background:#FFFF99;" | Частично решен
|- 
| [[Шеснадесети проблем на Хилберт|16ти]]    
| [[Topology]] of algebraic curves and surfaces.
| style="background:#FFCCCC;" | Открит
|- 
| [[Седемнадесети проблем на Хилберт|17ти]]  
| Expression of [[definite]] [[rational]] function as [[quotient]] of [[sum]]s of [[Square (algebra)|square]]s
| style="background:#EEFFCC;" | Решен. Резултат: An upper limit was established for the number of square terms necessary
|- 
| [[Осемнадесети проблем на Хилберт|18ти]]   
| Is there a non-regular, [[tessellation|space-filling]] [[polyhedron]]? What is the densest [[sphere packing]]?
| style="background:#EEFFCC;" | Решен<ref>Rowe & Gray also list the 18th problem as "открит" in their 2000 book, because the sphere-packing problem (also known as the [[Kepler conjecture]]) was unsolved, but a solution to it has now been claimed (see reference below).</ref>
|- 
| [[Деветнадесети проблем на Хилберт|19ти]]   
| Are the solutions of [[Lagrangian]]s always [[analytic]]?
| style="background:#EEFFCC;" | Решен. Резултат: да
|- 
| [[Двадесети проблем на Хилберт|20ти]]    
| Do all [[calculus of variations|variational problems]] with certain [[boundary condition]]s have solutions?
| style="background:#EEFFCC;" | Решен. A significant area of research throughout the 20th century, culminating in solutions for the non-linear case.
|- 
| [[Двадесет и първи Нпроблем на Хилберт|21ви]] 
| Proof of the existence of [[linear differential equation]]s having a prescribed [[monodromic group]]
| style="background:#EEFFCC;" | Решен. Резултат: Да or не, depending on more exact formulations of the problem
|- 
| [[Двадесет и втори проблем на Хилберт|22ри]]
| Uniformization of analytic relations by means of [[automorphic function]]s
| style="background:#EEFFCC;" | Решен
|- 
| [[Двадесет и трети проблем на Хилберт|23ти]] 
| Further development of the [[calculus of variations]]
| style="background:#EEFFCC;" | Решен
|} 
=== Литература ===
<div class="references-small" style="-moz-column-count: 1; column-count: 1; font-size: 0.9em;">
*Александров П.С. (ред.), ''Проблемы Гильберта'', ИСФАРА, 2000, 5-1236-0064-7
*Bieberbach L., ''Über den Einfluß von Hilberts Pariser Vortrag über „Mathematische Probleme“ auf die Entwicklung der Mathematik in den letzten dreißig Jahren'' в ''Naturwissenschaften'', '''18''', 51., 1930, ISSN 0028-1042
*Thiele R., Wos L., ''Hilbert's Twenty-Fourth Problem'' в ''Journal of Automated Reasoning'', '''29''', 1., 2002, ISSN 0168-7433
*Фельдман Н. И., ''Седьмая проблема Гильберта'',  Издательство Московского университета, 1982
*Матиясевич Ю.В., ''Десятая проблема Гильберта'', Физматлит, 1993, ISBN 5-02-014326-Х
*Болтянский В. Г., ''Третья проблема Гильберта'', «Наука», Москва, 1977
</div>
=== Бележки ===
<references />
<!--
:: The following is from Nagel and Newman, pp. 96 and 97: "This imposing резултат of Godel's analysis should not be misunderstood: it does not exclude a meta-mathematical proof of the consistency of arithmetic. What it excludes is a proof of consistency that can be mirrored by the formal deductions of arithmetic- Footnote 29.[Footnote 29 gives an example of the trisection of an angle-- it is possible, although not with straight-edge and compass]. Meta-mathematical proofs of the consistency of arithmetic have, in fact, been constructed, notably by Gerhard Gentzen, a member of the Hilbert school, in 1936, and by others since then-footnote 30" [Footnote 30: Describes Gentzen's proof, which uses transfinite induction; "30: "Gentzen's proof depends on arranging all the domonstrations of arithmetic in a linear order according to their degree of 'simplicity'...but Gentzen's argument cannot be mapped onto the formalism of arthmetic. Moreover, although most students do not question the cogency of the proof, it is not finitistic in the sense of Hilbert's original stipulations for an ''absolute proof of consistency''."[italics added]...."But these [meta-mathematical] proofs cannot be represented within the arithmetical calculus; and, since they are not finitistic, they do not achieve the proclaimed objectives of Hilbert's original program."

A definition of a "finitary formal system" is given by Goldstein (p. 144, footnote 7):
:: "...''finitary'' formal systems... formal systems with a finite or denumerable (or countable) alphabet of symbols, wffs [well-formed-formulas] of finite length, and rules of inverence involving only finitely many premises. (Logicians also work with formal sytems with uncountable alphabets, with infinitely long wffs, and with proofs having infinitely many premises."(p. 144, footnote 7)
-->

<!-- 
Voici la liste de ces problèmes :

1.Prouver l'hypothèse du continu de Cantor.
  Paul Cohen, en se basant sur les travaux de Gödel, montra en 1963 que cette conjecture était indécidable. 
2.Prouver que l'ensemble des nombres réel peut être bien ordonné.
  Ernst Zermelo prouva que l'existence de ce bon ordre est équivalent à l'axiome du choix de Zermelo. Ainsi, le prouver revient à accepter cet axiome, ce que nombre de mathématiciens refusèrent. 
Alors que Hilbert pensait que ces deux problèmes étaient liés, Cohen montra qu'ils étaient indépendants en montrant que l'hypothèse du continu de Cantor était indécidable.

2.Les axiomes de l'arithmétique sont ils consistants ?
  Gödel montra en 1931, via son théorème d'incomplétude, que cela ne pouvait pas être démontré sans sortir de l'arithmétique. Gerhard Gentzen, cependant, démontra que la réponse était affirmative en se plaçant dans le cadre de la théorie des ensembles.

3.Peut-on appliquer la méthode de décomposition en polyèdres utilisée par Euclide pour le calcul de n'importe quel volume ?
Dehn, élève de Hilbert, montra que non, en démontrant qu'il était impossible de diviser un cube et un tétraèdre régulier de même volume en un nombre fini de polyèdres deux à deux identiques.

4.Définir toutes les géométries dont la plus courte distance entre deux points est un segment de droite.
La géométrie différentielle a permis de répondre en partie à ce problème, bien que l'on ne peut pas à proprement parler de réponse ferme.

5.Trouver des groupes de Lie continus. 

6.L'axiomatisation, basée sur le modèle mathématique, de la physique.
Du fait de l'apparition de la théorie de la relativité et de la mécanique quantique, le problème fut vite obsolète. Malgré tout, on peut noter que la physique théorique et les mathématiques ne cessent de se rapprocher.

7.Démontrer la transcendance des nombres ab, avec a algébrique et b irrationnel (par exemple  Les travaux de Gelfond, complétés par Schneider et Baker, ont permis de résoudre en partie ce problème.

8.Démontrer l'hypothèse de Riemann. Ce problème n'est toujours pas résolu aujourd'hui, malgré les progrès faits notamment par Deligne qui démontra les conjectures de Weil, et reçut pour cela la médaille Fields en 1978, on est encore loin d'avoir résolu ce problème, qui s'annonce comme celui du XXIe siècle.

9.Etablir une loi de réciprocité dans les corps de nombres algébriques. Résolu par Artin. 

10.Trouver un algorithme déterminant si une équation diophantienne a des solutions.
Yuri Matijasevic à établit en 1970 qu'un tel algorithme ne pouvait exister. 

11.Classifier les formes quadratiques à coefficient dans les anneaux d'entiers algébriques.
Résolu par Siegel. 

12.Prolonger le théorème de Kroneker sur les corps non-abéliens. (?)
 
13.Montrer l'impossibilité de résoudre les équations du 7ème degré au moyen de fonctions de seulement deux variables.
Démontré par Kolmogorov et son élève Vladimir Arnold en 1954.
 
14.Prouver le caractère fini de certains systèmes intégral des fonctions.(?)
Nagata donna en 1959 un contre-exemple qui montra la fausseté de la conjecture.

15.Mettre en place les bases du calcul énumératif de Schubert.
Résolu par Van der Waerden en 1930 

16.Développer une topologie des courbes et des surfaces algébriques.
 
17.Montrer qu'une fonction rationnelle positive peut s'écrire sous la forme de somme de carrés de fonctions rationnelles.
Résolu par Artin en 1927.
 
18.Construire un espace euclidien avec des polyèdres congruents.
Résolu par Bieberbach en 1910 

19.Prouver que le calcul des variations est toujours nécessairement analytique
Résolu par Bernstein et Tibor Rado en 1929 

20.Etudier la solution générale des problèmes de valeur limite.
 
21.Prouver que toute représentation complexe de dimension finie peut s'obtenir par action de monodromie sur une équation différentielle de Fusch.
Résolu par Helmut Rörl en 1957 

22.Uniformiser des courbes analytiques au moyen de fonctions automorphes.
Résolu par Koebe et Henri Poincaré en 1907.


23.Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations.
-->

[[Категория: Математика]]

[[ca:Problemes de Hilbert]]
[[cs:Hilbertovy problémy]]
[[da:Hilberts problemer]]
[[de:Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen]]
[[en:Hilbert's problems]]
[[es:Problemas de Hilbert]]
[[fi:Hilbertin ongelmat]]
[[fr:Problèmes de Hilbert]]
[[he:23 הבעיות של הילברט]]
[[hu:Hilbert-problémák]]
[[it:Problemi di Hilbert]]
[[ja:ヒルベルトの23の問題]]
[[ko:힐베르트의 문제들]]
[[nl:23 problemen van Hilbert]]
[[pl:Problemy Hilberta]]
[[pt:Problemas de Hilbert]]
[[ru:Проблемы Гильберта]]
[[sl:Hilbertovi problemi]]
[[sr:Хилбертови проблеми]]
[[sv:Hilbertproblemen]]
[[th:ปัญหาของฮิลแบร์ท]]
[[zh:希尔伯特的23个问题]]