Сборник с математически доказателства/Aнализ/Неравенство на Бернули

Неравенството на Бернули се среща в две форми като строго и като нестрого неравенство на Бернули.

Строго неравенство на Бернули

За всяко естесвено $n>1$ и реално $x>-1$, но различно от нула, е в сила

$(1+x{)}^n>1+nx.$

Доказателство

Ще проведем доказателството по индукция. За $n=2$ е в сила $(1+x{)}^2=1+2x+x^2>1+2x$. Нека неравнеството е вярно за всяко $n<k$. Тогава то е вярно и за $n=k+1$, защото:

$(1+x{)}^{k+1}=(1+x{)}^k(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+k{x}^2>1+(k+1)x.$ Шаблон:Доказано

Нестрого неравенство на Бернули

За всяко естесвено $n$ и реално $x\ge -1$ е в сила

$(1+x{)}^n\ge 1+nx.$

Доказателство

• При $x=0$:

$(1+0{)}^n=1\ge 1=1+n\cdot 0$.

• При $x=-1$:

$(1+(-1){)}^n=0\ge 1-n=1+n\cdot (-1)$.

• При $n=1$:

$(1+x{)}^1=1+x\ge 1+1\cdot x$.

• Останалите случаи се препокриват с условията в строгото неравенство на Бернули. Шаблон:Доказано