Сборник с математически доказателства/Чернова1

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Klassen und Funktionen von Ordinalzahlen

Die Existenz von Klassen ist in der von Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre axiomatisch gesichert, wobei die Mengen spezielle Klassen sind (nämlich solche Klassen, die nicht nur Klassen sondern auch Elemente von Klassen sind). Die ZFC besteht dagegen ausschließlich aus Behauptungen, die Aussagen über Mengen treffen. Dennoch wird in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre über Klassen gesprochen, wobei man darunter Abkürzungen von mengentheoretishen Formeln versteht. Die Formel "$\xi$ ${}^{\in }$ $K$" zum Beispiel interpreitert man für eine Klasse $K=$$\{x|$ ${}^{\mathrm{\exists }}$ $y(y$ ${}^{\in }$ $x)\}$ als "$\xi$ enthält mindestens ein Element". Wenn $\varphi$ eine mengentheoretische Formel ist, dann wird der Ausdruck $\{x|\varphi \}$ Klassenterm genannt. Mittels Regeln für das Verwenden von Klassentermen in mengentheoretischen Formeln kann sichergestellt werden, dass Formeln, die Klassenterme enthalten und nach diesen Regeln gebildet sind, in ZFC zulässig sind. Auch Funktionen deren Argumentenbereich Klassen sind, lassen sich in ZFC definieren. Diese werden oft Klassenfunktionen genannt (s. Hauptartikel: Klasse). Eine Klasse ist wohlgeordnet, wenn jede ihrer Teilklassen kleinstes Element hat. $(\text{On},$ ${}^{\in }$$)$ ist eine transitive stark wohlgeordnete Klasse. Stark wohlgeordnet sind auch alle Teilklassen von $\text{On}$. Jede wohlgeordnete echte Klasse ist ordnungsisomorph zu $\text{On}$. Da jede wohlgeordnete Menge ordnungsisomoprh zu genau einer Ordinalzahl ist, existiert für jede wohlgeordnete Klasse $K$ eine eindeutig bestimmte ähnliche Funktion $F$ dessen Wertebereich $W$ entweder $\text{On}$ oder eine Ordinalzahl ist. Dieser Wertebereich kann als Indexbereich verwendet werden: $K=\{{\kappa }_{\beta }:=F^{(-1)}(\beta )|\beta$ ${}^{\in }$ $W\}$. Es gilt: ${\kappa }_{\beta }=\text{min}\{x$ ${}^{\in }$ $K|$ ${}^{\mathrm{\forall }}$ $\eta <\beta ({\kappa }_{\eta }<x)\}$. Der Wertebereich $W$ wird Kollabierung von $K$ genannt (s. Hauptartikel: Isomorphiesatz von Mostowski). Die inverse Abbildung $F^{(-1)}$ heißt Wertverlaufsfunktion der Klasse $K$ (engl. enumerating function). Funktionen, deren Argumentenbereich ein Anfangstück $\{$$\eta$ ${}^{\in }$ $\text{On}$$|\eta <\xi \}$ ist, heißen transfinite Funktionen (oder auch Folgen) vom Typ $\xi$. Wenn jeder Funktion vom beliebigen positiven Typ eindeutig eine Ordinalzahl zugeordnet wird, dann spricht man von einem Funktional. Klassenfunktionen mit Argumentenbereich $\text{On}$ lassen sich auch als Funktionale auffassen, deren Argumentenbreich auf Funktionen vom Typ $1$ beschränkt ist. Von Interesse sind auch Folgen von Funktionen, die alle denselben Argumentenbereich haben. Jede solche Folge $(f_{\xi }(\eta ){)}_{\xi <\mathrm{\Lambda }}$ lässt sich als eine Funktion von zwei Variablen (auch Doppelfolge genannt) darstellen: $f_{\xi }(\eta )=F(\xi ,\eta )$.

Limes

Limes ist ein Funktional. Für jede Folge von Ordinalzahlen $B=(b_{\xi }{)}_{\xi <\mathrm{\Lambda }}$ ist $\beta ={\text{lim}}_{\xi <\mathrm{\Lambda }}{b}_{\xi }$ Limes von $A$ genau dann, wenn ${}^{\mathrm{\forall }}$$\delta <\beta$ ${}^{\mathrm{\exists }}$ $\eta <\mathrm{\Lambda }$$(\eta <\xi <\mathrm{\Lambda }$ $\Rightarrow$ $\delta <b_{\xi }$ ${}^{\le }$ $\beta )$. Nicht jede Folge hat einen Limes. Hinreichend dafür ist, dass die Folge einen monotonen Rest hat. Ist dieser Rest echt wachsend, so gilt ${\text{lim}}_{\xi <\mathrm{\Lambda }}{b}_{\xi }={\text{min}}_{\eta <\mathrm{\Lambda }}(\text{sup}$_{$\eta$ ≤ $\xi <\mathrm{\Lambda }$}$b_{\xi })$. Wenn die ganze Folge wachsend ist, dann ist ${\text{lim}}_{\xi <\mathrm{\Lambda }}{b}_{\xi }=\text{sup}$_{$\eta$ ≤ $\xi <\mathrm{\Lambda }$}$b_{\xi }$. Echt wachsende Folgen von Limeszahltyp heißen Fundementalfolgen. Zwei Fundamentalfolgen haben gleichen Limes genau, dann wenn ihre Wertemengen zusammengehörig sind. Falls ${\text{lim}}_{\eta <\mathrm{\Lambda }}{f}_{\eta }(\xi )$ für jedes $\xi$ des gemeinsamen Argumentenbereiches der Funktionen der Folge $A=(f_{\eta }{)}_{\eta <\mathrm{\Lambda }}$ existiert, dann nennt man $F(\xi )={\text{lim}}_{\eta <\mathrm{\Lambda }}{f}_{\eta }(\xi )$ die Grenzfunktion von $A$. Eine Funktionenfolge $(f_{\eta }{)}_{\eta }$ von Funktionen mit Argumentenbereich $A$ heißt monoton, wenn für jede beliebige Konstante $\xi$ ${}^{\in }$ $A$ die Folge $(f_{\eta }(\xi ){)}_{\eta }$ monoton ist. Jede monotone Funktionenfolge hat eine Grenzfunktion. Hinreichendes Kriterium für ${\text{lim}}_{\eta <\nu }{\text{lim}}_{\xi <\mu }F(\xi ,\eta )={\text{lim}}_{\xi <\mu }{\text{lim}}_{\eta <\nu }F(\xi ,\eta )$ ist, dass $\nu$ ${}^{\in }$ $\text{Lim}$ und $\mu$ ${}^{\in }$ $\text{Lim}$, es eine $\lambda$ ${}^{\in }$ $\text{Lim}$ gibt mit der $\nu$ und $\mu$ konfinal sind und alle Funktionen $f_{\eta }(\xi )=F(\xi ,\eta )$ und $g_{\xi }(\eta )=F(\xi ,\eta )$ monoton sind.

Konfinalität (als Relation)

Eine Ordinalzahl $\xi$ heißt mit der Ordinalzahl $\eta$ konfinal (oder kofinal) - in Zeichen: $\xi$ $\text{cf}$ $\eta$, wenn es eine wachsende transfinite Folge $b=(b_{\gamma }{)}_{\gamma <\eta }$ vom Typ $\eta$ gibt, so dass $\xi =\text{min}\{\tau |$$\mathrm{\neg }$${}^{\mathrm{\exists }}$$\gamma <\eta$ $(\tau$ ${}^{\le }$ $b_{\gamma })\}$. Falls also $\eta =0$ ist, dann ist auch $\xi =0$. Falls $\eta >0$, dann ist $\xi$ die kleinste Ordinalzahl größer als alle Elemente einer wachsenden Folge vom Typ $\eta$. Konfinalität ist eine transitive, asymetrische und reflexive Relation. Folgende Zusammenhänge können bewiesen werden:

• ${}^{\mathrm{\forall }}$$\xi$ ${}^{\in }$ $\text{On}$ ${}^{\mathrm{\forall }}$$\eta$ ${}^{\in }$ $\text{On}$ $(\xi$ $\text{cf}$ $\eta$ $\Rightarrow$ $\xi$ ${}^{\ge }$ $\eta )$

• ${}^{\mathrm{\forall }}$$\xi >0$ ${}^{\mathrm{\forall }}$$\eta >0$ $(\xi$ $\text{cf}$ $\eta$ $\Rightarrow$ $(\xi$ ${}^{\in }$ $\text{Lim}$ $\iff$ $\eta$ ${}^{\in }$ $\text{Lim}))$

• ${}^{\mathrm{\forall }}$$\xi$ ${}^{\in }$ $\text{On}$$(1$ $\text{cf}$ $\xi$ $\iff$ $\xi =1)$

• ${}^{\mathrm{\forall }}$$\xi$ ${}^{\in }$ $\text{On}$$(\xi$ $\text{cf}$ $1$ $\iff$ $(\xi >0$ ${}^{\wedge }$ $\xi$ ${}^{\notin }$ $\text{Lim}))$

• ${}^{\mathrm{\forall }}$$\xi$ ${}^{\in }$ $\text{On}$ ${}^{\mathrm{\forall }}$$\eta$ ${}^{\in }$ $\text{On}$ $((\xi >0$ ${}^{\wedge }$ $\xi$ ${}^{\notin }$ $\text{Lim})$ $\Rightarrow$ $($${}^{\mathrm{\forall }}$$\eta (0<\eta <\xi$ ${}^{\wedge }$ $\eta$ ${}^{\notin }$ $\text{Lim}$ $\Rightarrow$ $\xi$ $\text{cf}$ $\eta ))$

• ${}^{\mathrm{\forall }}$$\xi$ ${}^{\in }$ $\text{On}$ $\eta >0$ $(\eta$ ${}^{\notin }$ $\text{Lim}$ $\Rightarrow$ $(\xi$ $\text{cf}$ $\eta$ $\iff$ $(\xi$ ${}^{\ge }$ $\eta$ ${}^{\wedge }$ $\xi$ ${}^{\notin }$ $\text{Lim}))$

• ${}^{\mathrm{\forall }}$$\xi$ ${}^{\in }$ $\text{On}$ $\eta >0$ $(\xi$ ${}^{\notin }$ $\text{Lim}$ $\Rightarrow$ $(\xi$ $\text{cf}$ $\eta$ $\iff$ $(\xi$ ${}^{\ge }$ $\eta$ ${}^{\wedge }$ $\eta$ ${}^{\notin }$ $\text{Lim}))$

Hinreichendes und notwenidiges Kriterium für die Konfinalität der Ordinalzahl $\xi$ mit der Ordinalzahl $\eta$, falls $\xi$ und $\eta$ nicht beide isoliert sind, ist, dass $\eta$ ${}^{\in }$ $\text{Lim}$ und dass $\xi$ Limes einer Fundamentalfolge vom Typ $\eta$ ist.

Normale und halbnormale Funktionen

Der Limes $f$ ^{${}^{{}^{\to }}$}$(\lambda )=$${\text{lim}}_{\xi <\lambda }$ $f(\xi )$, falls er existiert, heißt für die Limeszahl $\lambda$ und die transfinite Funktion $f$ der Grenzwert von $f$ an der Stelle $\lambda$. $f$ heißt an der Stelle $\lambda$ stetig, wenn $f$ ^{${}^{{}^{\to }}$}$(\lambda )=f(\lambda )$. Transfinite Funktionen, die an jeder Limeszahlstelle ihres Argumentenbereiches stetig sind, heißen stetige transfinte Funktionen. Monotone stetige Funktionen heißen halbnormal und echt wachsende stetige Funktionen - normal. Eine Funktion $f$ heißt expansiv, wenn ${}^{\mathrm{\forall }}$$\eta (\eta$${}^{\le }$$f(\eta ))$. Jede monoton wachsende Funktion ist expansiv. Die Funktionalgleichung $f(\eta +1)=g(f(\eta ))$ mit Anfangsbedingung $f(0)=\xi$ hat genau eine halbnormale Lösung $f:\text{On}$${}^{\to }$$\text{On}$ für jede Ordinalzahl $\xi$, falls $g$ eine expansive Funktion mit Argumentenbereich $\text{On}$ ist. Für jede Ordinalzahl $\beta$, die ausserhalb des Wertebereiches der halbnormalen Funktion $h$ liegt, aber keine obere oder untere Schranke dieses Bereiches ist, hat die Klasse $\{\xi |h(\xi )<\beta <h(\xi +1)\}$ ein Maximum. Für jede monotone Funktion $f$ existiert eine zu $f$ gehörige halbnormale Funktion $f$ ^{${}^{{}^{\to }}$}, die man forlgendermaßen definiert:

• $f$ ^{${}^{{}^{\to }}$}$(\xi )=f(\xi )$ für endliche $\xi$,
• $f$ ^{${}^{{}^{\to }}$}$(\lambda )=$${\text{lim}}_{\xi <\lambda }$ $f(\xi )$ für Limeszahlen $\lambda$
• $f$ ^{${}^{{}^{\to }}$}$(\xi +1)=f(\xi +1)$ für transfinite $\xi$, falls $\text{max}\{\lambda |\xi$ ${}^{\ge }$ $\lambda$ ${}^{\in }$ $\text{Lim}\}$ eine Stetigkeitstelle von $f$ ist,
• $f$ ^{${}^{{}^{\to }}$}$(\xi +1)=f(\xi )$ für transfinite $\xi$, falls $\text{max}\{\lambda |\xi$ ${}^{\ge }$ $\lambda$ ${}^{\in }$ $\text{Lim}\}$ eine Unstetigkeitstelle von $f$ ist.

Es gilt:

• ${}^{\mathrm{\forall }}$$\xi (f$ ^{${}^{{}^{\to }}$}$(\xi )$ ${}^{\le }$ $f(\xi )$ ${}^{\le }$ $f$ ^{${}^{{}^{\to }}$}$(\xi +1))$.
• Falls $f$ echt wachsend ist, dann ist $f$ ^{${}^{{}^{\to }}$} normal.

Eine Ordinalzahl $\beta$ heißt Wachstumsstelle der monotonen Funktion $f$, wenn ${}^{\mathrm{\neg }}$${}^{\mathrm{\exists }}$ $\xi <\beta$ $(f(\xi )=f(\beta ))$. Die geordnete Folge der Wachstumstellen einer halbnormalen Funkion ist normale Funktion, die Zahlen erster Art auf Zahlen erster Art abbildet. Jede Funktion vom Typ kleiner ${\omega }_1$ ist Grenzfunktion einer Folge von stetigen Funktionen.^, Monotone Folgen von halbnormalen Funktionen haben halbnormale Grenzfunktionen.

Spezielle Ordinalzahlen und Klassen von Ordinalzahlen

Eine Ordinalzahl $\beta$ ${}^{\in }$ $K$ heißt Fixpunkt der Funktion $F:$ $K$ ${}^{\to }$ $\text{On}$, falls $F(\beta )=\beta$. Die Funktion $F$ heißt expansiv, wenn ${}^{\mathrm{\forall }}$$\eta <\xi (\eta$${}^{\le }$$F(\eta ))$. Jede monoton wachsende Funktion ist expansiv. $F$ heißt stetig, wenn $F(\lambda )={\text{lim}}_{\eta <\lambda }F(\eta )$ für jede Limeszahl $\lambda <\xi$. Expansive stetige Funktionen mit ausreichend großem Definitionsbereich besitzen beliebig große Fixpunkte. Sei $\tau$ ein Element von $K$. Die Ordinalzahlfamilie $\{{\beta }_n{\}}_{n=0,1,...}$ $\cup$ $\{{\beta }_{\omega }=E(\tau )\}$, definiert durch:

• ${\beta }_0=\tau +1$
• ${\beta }_{n+1}=F({\beta }_n)$ für jedes $n<\omega$
• $E(\tau )=\text{sup}\{{\beta }_n|n<\omega \}$

sei Teilklasse von $K$. Dann ist $E(\tau )$ ein Fixpunt von $F$. Sei ${\text{Fix}}_{[\tau ]}(F(\tau ))$ Bezeichnung für die Klasse der Fixpunkte von $F$. Es läßt sich zeigen, dass:

• ${\text{Fix}}_{[\tau ]}(\tau +\gamma )=\{0\}$ für jede $\gamma >0$,
• ${\text{Fix}}_{[\tau ]}(\gamma +\tau )=\{\gamma \omega +\rho |\rho$ ${}^{\in }$ $\text{On}\}$,
• ${\text{Fix}}_{[\tau ]}(\gamma \tau )=\{{\gamma }^{\omega +\delta }|\delta$ ${}^{\in }$ $\text{On}\}$.

Die Fixpunkte der Funktion $F(\beta )={\omega }^{\beta }$ heißen Epsilonzahlen. Da $F(\beta )={\omega }^{\beta }$ expansiv und stetig ist, existieren beliebig große Epsilonzahlen. Die kleinste davon ist ${ϵ}_0$. Sie ist abzählbar und Supremum der Folge $({\gamma }_n{)}_{n=0,1,...}$ definiert durch ${\gamma }_0=\omega$ und ${\gamma }_{n+1}=\omega$^{${\gamma }_n$}. Für jede abzählbare Ordinalzahl $\xi$ exisitieren abzählbare Epsilonzahlen, die größer als $\xi$ sind. Die Epsilonzahlen sind genau die Zahlen deren größter Exponent ${\lambda }_n$ in ihrer Cantorschen Normaldarstellung gleich die Zahl selbst ist. Sei ${ϵ}_{\eta }$ die eindeutig bestimmte Epsilonzahl, für die $\text{ord}(\{\beta |\beta <{ϵ}_{\eta };{\omega }^{\beta }=\beta \})=\xi$. Es gilt ${ϵ}_{\eta +1}=E({ϵ}_{\eta })$ für jede Ordinalzahl $\eta$ und ${ϵ}_{\lambda }=\text{sup}\{{ϵ}_{\beta }|\beta <\lambda \}$ für jede Limeszahl $\lambda$. Man kann zeigen, dass $\{{ϵ}_{\beta }|\beta$ ${}^{\in }$ $\text{On}\}$$=\{\beta >\omega |2^{\beta }=\beta \}=\{\beta >\omega |$${}^{\mathrm{\forall }}$$\eta$${}^{\mathrm{\forall }}$$\xi$$(\eta <\beta$${}^{\wedge }$$\xi <\beta$${}^{\Rightarrow }$${\eta }^{\xi }<\beta )\}$.

PROBE

abcd abcdabcd abcdabcd abcdabcd abcd

abcd $\xi$·$\xi$ abcde

acbd $\xi$·$\xi$ ^$\xi$·$\xi$ abcd

abcdabcd abcdabcd abcdabcd abcdabcd abcd

${\text{lim}}_{\xi <\mathrm{\Lambda }}{\beta }_{\xi }={\text{min}}_{\eta <\mathrm{\Lambda }}(\text{sup}$_{$\eta$ ≤ $\xi <\mathrm{\Lambda }$}${\beta }_{\xi })$

$\kappa$^{$\mathrm{\Omega }(\text{cf}(\xi ))$}

abcde $f$$(x)$

abcde $f$ ^{${}^{{}^{\sim }}$}$(x)$

abcde $f*(x)$

${}^{\tilde{f}}$$(x)$ $f(x)$

abcd ${\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}}{\mathrm{\backslash color}}_{{}_{{}_{{}_{{}_{{}_{{}_{{}_{.}}}}}}}}$abcd

abcd $\mathrm{\aleph }{\mathrm{\backslash color}}_{{}_{.}}$abcd

abcd $ℝ{\mathrm{\backslash color}}_{{}_{.}}$ abcde

abcd ${ℝ}^2{\mathrm{\backslash color}}_{{}_{{}_{{}_{{}_{.}}}}}$abcd

abcdefg abcdefg abcdefg abcdefg abcdefg abcdefg abcdefg abcdefg

AAA

Seien $X$ und $Y$ Mengen, sowie $f$: $X$ $\to$ $Y$ eine Abbildung von $X$ nach $Y$.

$X$ ist der Defintionsbereich einer Funktion $F$ und $Y$ eine Obermenge (Oberklasse) des Wertebereiches von $F$. Formal: $F$: $X$$\to$$Y$ $\iff$ $\text{Fun}(F)$ $\wedge$ $\text{dom}(F)=X$ $\wedge$ $\text{ran}(F)$ ${}^{\subseteq }$ $Y$, wobei $\text{Fun}(F)$ $\iff$ $\text{Rel}(F)$ $\wedge$ ${}^{\mathrm{\forall }}$$x,y_1,y_2(xF{y}_1$ $\wedge$ $xF{y}_2)$ $\Rightarrow$ $y_1=y_2)$ und $\text{Rel}(F)$ $\iff$ $F$ ${}^{\subseteq }$ $(X$ $\cup$ $Y)$ $\times$ $(X$ $\cup$ $Y)$ und $\text{dom}(F)$ $:=$ $\{x|$ ${}^{\mathrm{\exists }}$ $y(xFy)\}$ und $\text{ran}(F)$ $:=$ $\{y|$ ${}^{\mathrm{\exists }}$ $x(xFy)\}$

PROBE2

${}^0\genfrac{}{}{0ex}{}{\curvearrowleft }{}{}^1\genfrac{}{}{0ex}{}{\curvearrowleft }{}{}^2\genfrac{}{}{0ex}{}{\curvearrowleft }{}{}^{\dots }{}^{\sigma \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{m}}\genfrac{}{}{0ex}{}{\curvearrowleft }{}{}^{\eta -1}\genfrac{}{}{0ex}{}{\curvearrowleft }{}{}^{\eta \notin \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{m}}\genfrac{}{}{0ex}{}{\stackrel{\text{Sprung}}{\curvearrowleft }}{}{}^{\dots }{}^{\lambda \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{m}}\genfrac{}{}{0ex}{}{\curvearrowleft }{}{}^{((\xi -1)-1)-1}\genfrac{}{}{0ex}{}{\curvearrowleft }{}{}^{(\xi -1)-1}\genfrac{}{}{0ex}{}{\curvearrowleft }{}{}^{\xi -1}\genfrac{}{}{0ex}{}{\stackrel{\text{zumVorgeanger}}{\curvearrowleft }}{}{}^{\xi \notin \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{m}}{}^{\dots }$