Сборник с математически доказателства/Теория на множествата/Класовете на Бер и неизброимите ординали

Шаблон:Уикипедия Шаблон:От надежден източник В тази статия се представят аргументи за несъобразността от дефиниране на класове на Бер за неизброими ординални числа.

Нека класовете ${ℬ}_0,{ℬ}_1,\mathrm{...},{ℬ}_n,\mathrm{...}$ са дефинирани както следва, без да се поставя ограничението за $\kappa :\mathrm{Card}(\kappa )\le {\mathrm{\aleph }}_0$Шаблон:Матсим както при дефиницията на класовете на Бер.

• ${ℬ}_0$ е класът на непрекъснатите функции на една реална променлива,
• ${ℬ}_{\kappa }$ за произволно ординално число $\kappa >0{\mathrm{\backslash color}}_{{}_{{}_{{}_{.}}}}$ е класът на всички функции, които не принадлежат към $\bigcup _{{\kappa }^{\prime }<\kappa }{ℬ}_{{\kappa }^{\prime }}{\mathrm{\backslash color}}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{.}}}}}}$, но са (поточкова) граница на редица от функции принадлежащи към $\bigcup _{{\kappa }^{\prime }<\kappa }{ℬ}_{{\kappa }^{\prime }}{\mathrm{\backslash color}}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{.}}}}}}$,

Ще докажем следното:

Твърдение

${ℬ}_{\kappa }=\mathrm{\varnothing }$ за всички $\kappa :\mathrm{Card}(\kappa )>{\mathrm{\aleph }}_0$.

Доказателство

Верността на твърдението може да се покаже чрез трансфинитна индукция.

Индукционната хипотеза е

$(\mathrm{Card}(\kappa )>{\mathrm{\aleph }}_0)\Rightarrow ({ℬ}_{\kappa }=\mathrm{\varnothing }).$

За $\kappa =0$ импликацията е вярна.

Нека тя е вярна за $\mathrm{\forall }{\kappa }^{\prime }:{\kappa }^{\prime }<\kappa$. Ще покажем, че е вярна и за $\kappa$.

Нека

$f_1,f_2,\mathrm{...},f_n,\mathrm{...}\to f\in {ℬ}_{\kappa }\ne \mathrm{\varnothing }.$

Ще докажем, че $\mathrm{Card}(\kappa )\le {\mathrm{\aleph }}_0.$

Нека ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\mathrm{...},{\alpha }_n,\mathrm{...}$ са такива ординали, че за

$\mathrm{\forall }i:f_i\in {ℬ}_{{\alpha }_i}.$

От индукционното предполжение следва

$\mathrm{Card}({\alpha }_i)\le {\mathrm{\aleph }}_0.$

Нека

${\lambda }^{\prime }=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_i$

и

$\lambda =\{\begin{array}{cc}{\lambda }^{\prime }\text{:}& {\lambda }^{\prime }\notin \{{\alpha }_1,\mathrm{...},{\alpha }_n,\mathrm{...}\}\\ {\lambda }^{\prime }+1\text{:}& {\lambda }^{\prime }\in \{{\alpha }_1,\mathrm{...},{\alpha }_n,\mathrm{...}\}\end{array}$

Ясно е, че за

$\mathrm{\forall }i:{\alpha }_i<\lambda$

и

$\mathrm{Card}(\lambda )\le {\mathrm{\aleph }}_0.$

Не е възможно $\lambda$ да е по-малко от $\kappa$, защото тогава функцията $f$ би била елемент на ${ℬ}_{\mu }$ за някое $\mu \le \lambda$. ${ℬ}_{\mu }$ и ${ℬ}_{\kappa }$ обаче са дизюнктни по дефиниция, когато $\mu \ne \kappa$. Следователно

$\kappa \le \lambda$

и

$\mathrm{Card}(\kappa )\le \mathrm{Card}(\lambda )\le {\mathrm{\aleph }}_0.$ Шаблон:Доказано ^,

Литература

• Komjath P., Totik V., Problems and Theorems in Classical Set Theory, Springer, 2006, ISBN 978-0387302935