Сборник с математически доказателства/Теория на множествата/Теорема за равномерната сходимост в точка

Шаблон:От надежден източник Една фaмилия от функции $(f_n:ℝ\to ℝ{)}_{n=1,2,...}$ се нарича равномерно сходяща в точката $\xi \in ℝ$ клоняща към $f$, ако за всяко положително $\epsilon$ съществува естествено $m$ и положително $\delta$, такива че

$\mathrm{\forall }n(n\ge m\Rightarrow {\mathrm{△}}_{\delta }(\xi )\subset \{x:|f(x)-f_n(x)|<\epsilon \})$

където

${\mathrm{△}}_{\delta }(\xi )=\{x:|x-\xi |<\delta \}$

e $\delta$-околност на $\xi$.

Една фaмилия от функции $(f_n:ℝ\to ℝ{)}_{n=1,2,...}$ ще наричаме равномерно поне ужсходяща в точката $\xi$ клоняща към $f,$ ако за всяко $\epsilon$$>0$ съществува естествено $m$ и положително $\delta$, такива че

${\mathrm{△}}_{\delta }(\xi )\subset \{x:|f(x)-f_m(x)|<\epsilon \}.$

Повече информация за различните видове сходимост и свързаните с тях термини можете да намерите в допълнението Видове сходимост в пространства от функции.

Теорема

Теорема за равномерната сходимост в точка:

• Множеството от точки на равномерна сходимост и множеството от точки на равномерна поне ужсходимост на една фамилия от функции $F=(f_n{)}_{n=1,2,...}$ са $G_{\delta }$-множества.

• Ако $F$ е равномерно сходяща или равномерно ужсходяща в точката $\xi$ и всеки нейн елемент е непрекъснат в $\xi$, то и всяка нейна граница $f$ e непрекъсната в тази точка.

• Ако $F$ е поточково сходяща в дадена точка $\xi$ клоняща към непрекъснатата в $\xi$ функция $f$ и всеки нейн елемент е непрекъснат в $\xi$, то $F$ e равномерно поне ужсходима в $\xi$.

Доказателство

Започваме с доказателството на първата част на теоремата:

Нека $f^{\ast }$ е такавa функция, че

$f^{\ast }(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)$

за всяко $x$, за което границата

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)$

съществува, и

$f^{\ast }(x)=0$

в противен случай. Дефинираме множествата

$S_m^n=\mathrm{Int}\left(\{x:\mathrm{\forall }k\ge m(|f_k(x)-f^{\ast }(x)|<\frac{1}{n})\}\right),$ Шаблон:Матсим

$R_m^n=\mathrm{Int}\left(\{x:|f_m(x)-f^{\ast }(x)|<\frac{1}{n}\}\right),$

$O_n=\bigcup _m{S}_m^n,$

и

$U_n=\bigcup _m{R}_m^n,$

които са по дефиниция отворени, както и множествaтa

$G=\bigcap _n{O}_n$

и

$H=\bigcap _n{U}_n$

които са $G_{\delta }$-множества. Очевидно

$y\in G$

тогава и само тогава когато

$\mathrm{\forall }n\mathrm{\exists }m\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }k(k\ge m\Rightarrow {\mathrm{△}}_{\delta }(y)\subset \{x:|f_k(x)-f^{\ast }(x)|<\frac{1}{n}\}),$

което е равносилно на

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }m\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }k(k\ge m\Rightarrow {\mathrm{△}}_{\delta }(y)\subset \{x:|f_k(x)-f^{\ast }(x)|<\epsilon \}),$

тоест на равномерната сходимост в $y$. Също така лесно се съобразява, че условията

$y\in H,$

$\mathrm{\forall }n\mathrm{\exists }m\mathrm{\exists }\delta >0({\mathrm{△}}_{\delta }(y)\subset \{x:|f_m(x)-f^{\ast }(x)|<\frac{1}{n}\})$

и

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }m\mathrm{\exists }\delta >0({\mathrm{△}}_{\delta }(y)\subset \{x:|f_m(x)-f^{\ast }(x)|<\epsilon \}),$

са еквивалентни. Тоест, че $H$ е множеството от точки на равномерна поне ужсходимост.

Сега ще докажем втората част на теоремата.

От равномерната сходимост (или поне ужсходимост) на $(f_k{)}_{k=1,2,...}$ в точката $\xi$ следва, че за всяко положително $ϵ$ съществуват околност $W$ на $\xi$ и $m$ такива, че

$\mathrm{\forall }x\in W(|f_m(x)-f(x)|<\frac{\epsilon }{3})$

и в частност

$|f_m(\xi )-f(\xi )|<\frac{\epsilon }{3}$,

когато $f$ е някоя от границите на $(f_k{)}_{k=1,2,...}$. От непрекъснатостта на функциите $f_1$, $f_2$, ... следва, че съществува околност $V$${}^{\subseteq }$$W$ на $\xi$, така че

$\mathrm{\forall }x\in V(|f_m(x)-f_m(\xi )|<\frac{\epsilon }{3})$.

Събрани трите неравенствата показват непрекъснатостта на $f$ в точкта $\xi$:

$\mathrm{\forall }x\in V(|f(x)-f(\xi )|<\epsilon )$.

Ще завършим доказателството като покажем и верността на третото твърдение. За всяко положително $ϵ$ съществува околност $Y$ на $\xi$, такава че

$\mathrm{\forall }x\in Y(|f_m(\xi )-f(\xi )|<\frac{\epsilon }{3}),$

$\mathrm{\forall }x\in Y(|f(\xi )-f(x)|<\frac{\epsilon }{3})$

и

$\mathrm{\forall }x\in Y(|f_m(x)-f_m(\xi )|<\frac{\epsilon }{3})$.

Това следва от поточковата сходимостта на $(f_k{)}_{k=1,2,...}$ и от непрекъснатостта на функциите $f$, $f_1$, $f_2$, ... в $\xi$ и означава, че

$\mathrm{\forall }x\in Y(|f_m(x)-f(x)|<\epsilon )$.

Последното показва равномерната поне ужсходимост на $(f_k{)}_{k=1,2,...}$ в $\xi$. Шаблон:Доказано

Вижте също

• Теорема на Йънг за прекъснатите функции

Литература

• Hausdorff F., Grundzuеge der Mengenlehre, Verlag Veit & Co, Leipzig, 1914, преиздадена от Chelsea Pub. Co., 1949, 1965, 1978