Сборник с математически доказателства/Теория на множествата/Теорема на Йънг за прекъснатите функции

Шаблон:Уикипедия Шаблон:От надежден източник Тема на тази статия е доказателсво на теоремата на Йънг и някои нейни следствия.

Твърдение (Теорема на Йънг)

Нека $𝔊$ e семейството на всички $G_{\delta }$-множестваШаблон:Матсим от реални числа, $𝔉$ - множеството от функции:

$f:ℝ\to ℝ$,

а $N(f)$ за всяко $f\in 𝔉$ - множеството от точки, в които $f$ е непрекъсната. Тогава:

$\{N(f){\}}_{f\in 𝔉}=𝔊$.

Доказателство

Първо ще докажем, че $\{N(f){\}}_{f\in 𝔉}\subset 𝔊$.

Нека $f\in 𝔉$. Ще използваме следните означения:

$Y(f)=ℝ\mathrm{\setminus }N(f),$

${\mathrm{△}}_k(x)$ - за всяко $x\in N(f)$ околност на $x$ такава, че $\mathrm{\forall }\xi (\xi \in {\mathrm{△}}_k(x)\Rightarrow |f(\xi )-f(x)|<\frac{1}{2k}),$

$G_k=\bigcup _{x\in N(f)}{\mathrm{△}}_k(x)$

и

$G=\bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_k.$

${\mathrm{△}}_k(x)$ са отворени множества следователно и $G_k$ са също отворени множества, а $G$ борелово $G_{\delta }$-множество. Ще докажем, че $N(f)=G$.

Очевидно, че $N(f)\subset G,$ което се вижда от:

$\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }k(x\in N(f)\Rightarrow x\in {\mathrm{△}}_k(x))\Rightarrow \mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }k(x\in N(f)\Rightarrow x\in G_k)\Rightarrow \mathrm{\forall }x(x\in N(f)\Rightarrow x\in G).$

В обратната посока:

Нека $y\in G$. Тогава $\mathrm{\forall }k(y\in G_k)$ следователно

$\mathrm{\forall }k\mathrm{\exists }{x}_k(x_k\in N(f)\Rightarrow y\in {\mathrm{△}}_k(x_k)).$

Нека допуснем, че $y\notin N(f)$. Тогава $y\ne x_k$ за всяко $k$. Следователно за всяко $k$ съществува околност $\underset{k}{\overset{\star }{\mathrm{△}}}(y)$ на $y$, такава, че $x_k\notin \underset{k}{\overset{\star }{\mathrm{△}}}(y)$ и $\underset{k}{\overset{\star }{\mathrm{△}}}(y)\subset {\mathrm{△}}_k(x_k).$

От дефиницията на ${\mathrm{△}}_k(x)$ следва

$\mathrm{\forall }k\mathrm{\forall }\xi (\xi \in \underset{k}{\overset{\star }{\mathrm{△}}}(y)\Rightarrow |f(y)-f(\xi )|<\frac{1}{k}),$

но това означава, че $y\in N(f).$.

С това доказахме, че $N(f)\in 𝔊$ и следователно $\{N(f){\}}_{f\in 𝔉}\subset 𝔊$. Остава да докажем, че $\{N(f){\}}_{f\in 𝔉}\supset 𝔊$.

Нека $G\in 𝔊$ и

$G=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_n,$ където $\{G_n{\}}_{n=1,2,...},$ са отворени множества. Нека освен това $H_1=G_1$ и $H_i=H_{i-1}\cap G_i.$

Ясно е, че

$H_1\supset H_2\supset \dots \supset H_n\supset \dots$

а също така, че

$\bigcap _{n=1}^m{G}_n=\bigcap _{n=1}^m{H}_n$

за всяко $m$, от което следва

$G=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{H}_n$.

Дефинираме функцията $f_H:ℝ\to ℝ$ за всяко отворено множество $H$ и функцията $s:ℝ\to ℝ$ както следва

$f_H(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x\in H\cup (ℝ\setminus (\bar{H}\cup \mathbb{Q}))\\ 1,& x\in (\bar{H}\setminus H)\cup (\mathbb{Q}\cap (ℝ\setminus \bar{H}))\end{array}$Шаблон:Матсим

и

$s(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f_{H_n}(x)}{3^n}.$

Ще докажем, че $s$ e функция, за която $N(s)=G$, тоест, че $G\in \{N(f){\}}_{f\in 𝔉}$.

Първо ще покажем, че $N(f_H)=H.$

Ако $x\in H$, то съществува $\epsilon (x)>0$ такова, че $\mathrm{△}(x)=\{y:|y-x|<\epsilon (x)\}\subset H.$ Функцията $f_H$ е константна върху $\mathrm{△}(x)$ и следователно непрекъсната в $x$.

Ако

$x\in \bar{H}\setminus H,$

то за всяко $\epsilon >0$

$H\cap \{y:|y-x|<\epsilon \}\ne \mathrm{\varnothing }$

и

$\mathrm{\forall }z((z\in H\cap \{y:|y-x|<\epsilon \}\ne \mathrm{\varnothing })\Rightarrow (|f(x)-f(z)|=1)).$

$f_H$ следователно e прекъсната в $x$.

Ако

$x\in ℝ\setminus \bar{H},$

то съществува $\epsilon (x)>0$ такова, че $\mathrm{△}(x)=\{y:|y-x|<\epsilon (x)\}\subset ℝ\setminus \bar{H}.$ В сила е

$\mathrm{△}(x)\cap (\mathbb{Q}\cap (ℝ\setminus \bar{H}))\ne \mathrm{\varnothing }$

и

$\mathrm{△}(x)\cap (ℝ\setminus (\bar{H}\cup \mathbb{Q}))\ne \mathrm{\varnothing }$

От което следва, че $f_H$ e и в този случай прекъсната в точката $x$.

Нека да разгледаме сега функцията $s(x)$. Редът

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f_{H_n}(x)}{3^n}(\mathrm{\#})$

се мажорира от сходящия ред

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3^n}$

и е следователно равномерно сходящ. Тъй като функциите $\{f_{H_n}{\}}_n$ са непрекъснати в $G$, то заради равномерната сходимост на (#) и $s(x)$ би трябвало да е непрекъсната в $G,$ тоест $N(s)\supset G.$ Остава да покажем, че функцията $s(x)$ е прекъсната за всяко $x\in ℝ\setminus G.$

Нека $x\notin G$ и $m=\min \{n:x\notin H_n\}.$

Тогава

$s(x)=\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}\frac{f_{H_n}(x)}{3^n}.$

Ако

$x\in ℝ\setminus \overline{H_m},$

то

$x\in ℝ\setminus \overline{H_n}$ за всяко $n\ge m.$

и следователно

$\mathrm{\exists }\delta \mathrm{\forall }n(n\ge m\Rightarrow {\mathrm{△}}_{\delta }(x)\subset ℝ\setminus \overline{H_n}),$

където ${\mathrm{△}}_{\delta }(x)=\{y:|y-x|<\delta \}.$ За $y\in {\mathrm{△}}_{\delta }(x)$

$s(y)=\{\begin{array}{cc}0,& y\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\\ \sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3^n}>0,& y\in \mathbb{Q}\end{array}$

Което означава, че $x\notin N(s)$.

Ако

$x\in \overline{H_m}\setminus H_m,$

то за всяко $\delta >0$

${\mathrm{△}}_{\delta }(x)\cap H_m\ne \mathrm{\varnothing }$

и

$\mathrm{\forall }y(y\in {\mathrm{△}}_{\delta }(x)\cap H_m\Rightarrow s(y)\le \sum _{n=m+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3^n}<\frac{1}{3^m})$,

но

$s(x)\ge \frac{F_{H_m}(x)}{3^m}=\frac{1}{3^m}.$

Следователно и в този случай $x\notin N(s).$Шаблон:Доказано

Литература

• Hausdorff F., Grundzüge der Mengenlehre, 1914, Chelsea Publishing Company, New York, 1949

Виж също

• Теорема за равномерната сходимост в точка